Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f″（x），若在區(qū)間（a，b）上f″（x）＜0，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”，已知f（x）=

1

20

x⁵-

1

12

mx⁴-

3

2

x²在區(qū)間（-1，2）上為“凸函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A、（-∞，

  5

  4

  ]
• B、[-4，+∞）
• C、[

  5

  4

  ，+∞）
• D、[-4，

  5

  4

  ]

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：函數(shù)在區(qū)間（-1，2）上為“凸函數(shù)”，所以f″（x）＜0，即對函數(shù)y=f（x）二次求導(dǎo)，分離參數(shù)，求參數(shù)的最小值即可；

解答： 解：∵f（x）=

1

20

x⁵-

1

12

mx⁴-

3

2

x²，
∴f′（x）=

1

4

x⁴-

1

3

mx³-3x，
∴f″（x）=x³-mx²-3（3分）
若f（x）為區(qū)間（-1，3）上的“凸函數(shù)”，則有f″（x）=x³-mx²-3＜0在區(qū)間（-1，2）上恒成立，
當x=0時，f″（0）=-3＜0，恒成立，
當x≠0時，mx²＞x³-3，
即m＞x-

3

x2

，
設(shè)g（x）=x-

3

x2

，
則g′（x）=1+

6

x3

=

x3+6

x3

當x∈（0，2），g′（x）＞0，函數(shù)g（x）為增函數(shù)，當x=2時，函數(shù)g（2）=2-

3

4

=

5

4

當x∈（-1，0），g（x）＜0，
故函數(shù)g（x）在（-1，2）的最大值為g（2）=

5

4

，
故m≥

5

4

，
故實數(shù)m的取值范圍為[

5

4

，+∞]
故選：C

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題的解法，關(guān)鍵是要理解題目所給信息（新定義），考查知識遷移與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題