Question

14．如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，Q為AB的中點(diǎn)
（Ⅰ）證明；CQ⊥平面ABE
（Ⅱ）求多面體ACED的體積
（Ⅲ）求二面角A-DE-B的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出BE⊥平面ABC，從而CQ⊥BE，再求出CQ⊥AB，由此能證明CQ⊥平面ABE．
（Ⅱ）過點(diǎn)A作AM⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，推導(dǎo)出AM⊥平面BEDC，從而${V}_{A-CED}=\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•AM$，由此能求出多面體ACED的體積．
（Ⅲ）延長(zhǎng)EO，交BC延長(zhǎng)線于S，過點(diǎn)M作MQ⊥ES于Q，連結(jié)AQ，則∠AQM為A-DE-B的平面角，由此能求出二面角A-DE-B的正切值．

解答 證明：（Ⅰ）∵DC⊥平面ABC，BE∥DC，
∴BE⊥平面ABC，
∴CQ⊥BE，
又∵AC=BC=2，點(diǎn)Q為AB邊中點(diǎn)，
∴CQ⊥AB，
∵AB∩BE=B，∴CQ⊥平面ABE．
（Ⅱ）過點(diǎn)A作AM⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
∵AM⊥BC，AM⊥BE，
∴AM⊥平面BEDC，
∴${V}_{A-CED}=\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•AM$，
∴AM=$AC•sin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，${S}_{△CDE}=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∴多面體ACED的體積${V}_{A-CED}=\frac{1}{3}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅲ）延長(zhǎng)EO，交BC延長(zhǎng)線于S，
過點(diǎn)M作MQ⊥ES于Q，連結(jié)AQ，
由（Ⅱ）得∠AQM為A-DE-B的平面角，
∵CD$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，∴SC=CB=2，
∴SE=$\sqrt{B{E}^{2}+S{B}^{2}}$=$2\sqrt{5}$，
MC=MS=1，
△SQM∽△SBE，∴$\frac{QM}{BE}=\frac{SM}{SE}$，
∴$\frac{QM}{2}=\frac{1}{2\sqrt{5}}$，∴QM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴∠AQM=$\frac{AM}{QM}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=$\sqrt{15}$．
∴二面角A-DE-B的正切值為$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查多面體的體積的求法，考查二面角的正切值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．