Question

17．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BE=EC，DF=λDC，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=1，則λ的值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 作出圖形，利用平面向量的三角形加法運(yùn)算法則可得$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+λ$\overrightarrow{AB}$，再利用平面向量的數(shù)量積計算可得答案．

解答 解：∵菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BE=EC，DF=λDC，如圖：

∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，
同理可得，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+λ$\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AD}$+λ$\overrightarrow{AB}$）=λ${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AD}}^{2}$+（1+$\frac{λ}{2}$）|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AD}$|cos120°=4λ+2+（1+$\frac{λ}{2}$）×2×2×（-$\frac{1}{2}$）=3λ=1，
∴λ=$\frac{1}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查平面向量的三角形加法運(yùn)算法則與平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于中檔題．