Question

18．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中平面ABC⊥平面AA₁B₁B，CA=CB=AB=AA₁=2，∠BAA₁=60°，
（1）證明：AB⊥A₁C；
（2）直線A₁C與平面BB₁A₁A所成角的正弦值；
（3）求直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角正弦值．

Answer 1

分析 （1）通過線面的垂直，直接轉(zhuǎn)化成線線垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成線面垂直，最后轉(zhuǎn)化成線線垂直．
（2）利用面面垂直轉(zhuǎn)化成線面垂直，進(jìn)一步求出直線與平面的夾角，利用直角三角形求出結(jié)果．
（3）以O(shè)為坐標(biāo)原點，$\overrightarrow{OA}$的方向為x軸的正向，|$\overrightarrow{OA}$|為單位長，建立空間的坐標(biāo)系，運用向量的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可得到．

解答 證明：（1）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面AA₁B₁B，取AB的中點，連接CO和A₁O，
已知CA=CB=AB=AA₁=2，∠BAA₁=60°，
所以：△AA₁O為直角三角形．
則：A₁O⊥AB，
由于△ABC是等邊三角形，
所以：CO⊥AB，
所以：AB⊥平面A₁CO，
則：AB⊥A₁C．
解：（2）在棱柱中，平面ABC⊥平面AA₁B₁B，
所以：CO⊥平面AA₁B₁B，
則：∠CA₁O為直線A₁C與平面BB₁A₁A所成角，
進(jìn)一步根據(jù)CA=CB=AB=AA₁=2，解得：CO=${A}_{1}O=\sqrt{3}$，
所以：${A}_{1}C=\sqrt{6}$
所以：直線A₁C與平面BB₁A₁A所成角的正弦值為：
${sinCA}_{1}O=\frac{CO}{{A}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
解：（3）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA₁⊥AB，又平面ABC⊥平面AA₁B₁B，交線為AB，
所以O(shè)C⊥平面AA₁B₁B，故OA，OA₁，OC兩兩垂直．
以O(shè)為坐標(biāo)原點，$\overrightarrow{OA}$的方向為x軸的正向，|$\overrightarrow{OA}$|為單位長，建立空間的坐標(biāo)系，
可得A（1，0，0），A₁（0，$\sqrt{3}$，0），C（0，0，$\sqrt{3}$），
B（-1，0，0），
則$\overrightarrow{BC}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面BB₁C₁C的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
可取y=1，可得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，-1），故cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{{A}_{1}C}|}$=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
故直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查的知識要點：線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，線面的夾角及有關(guān)的運算問題．