Question

1．已知函數(shù)f（x）=lg[（x²-2x+a）²-2（x²-2x+a）-3]，其中2＜a＜4．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性（不要求證明）；
（Ⅲ）求滿足f（x）＞f（3）時x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)建立不等式關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可確定f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）根據(jù)條件判斷函數(shù)關(guān)于x=1對稱，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）要使函數(shù)有意義，則（x²-2x+a）²-2（x²-2x+a）-3＞0，
即x²-2x+a＞3或x²-2x+a＜-1，
即x²-2x+a-3＞0或x²-2x+a+1＜0，
由x²-2x+a-3＞0得x＞$1+\sqrt{4-a}$或x＜1-$\sqrt{4-a}$，
由x²-2x+a+1＜0得不等式無解，
綜上函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞$1+\sqrt{4-a}$或x＜1-$\sqrt{4-a}$}；
（Ⅱ）設(shè)m=t²-2t-3，t=x²-2x+a，
則當(dāng)x＞$1+\sqrt{4-a}$時，t=x²-2x+a＞3，且函數(shù)t=x²-2x+a為增函數(shù)，此時m=t²-2t-3為增函數(shù)，即函數(shù)f（x）遞增，
當(dāng)x＜1-$\sqrt{4-a}$時，t=x²-2x+a＞3，且函數(shù)t=x²-2x+a為減函數(shù)，此時m=t²-2t-3為增函數(shù)，即函數(shù)f（x）遞減，
故函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（$1+\sqrt{4-a}$，+∞），遞減區(qū)間為（-∞，1-$\sqrt{4-a}$）．
（Ⅲ）f（x）=lg[（x²-2x+a）²-2（x²-2x+a）-3]=lg[[（x-1）²+a-1]²-2[（x-1）²+a-1]-3]，
則函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對稱，
∵f（x）的遞增區(qū)間為（$1+\sqrt{4-a}$，+∞），
∴當(dāng)2＜a＜4時，3＞$1+\sqrt{4-a}$，
即當(dāng)x＞3時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
∴若f（x）＞f（3），則x＞3．
∵函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對稱，
∴當(dāng)x＜3時，不等式f（x）＞f（3）的解為x＜-1，
綜上滿足f（x）＞f（3）時x的取值范圍是（-∞，-1）∪（3，+∞）．

點評 本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．