Question

9．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過F作斜率為-1的直線交雙曲線的漸近線于點(diǎn)P，點(diǎn)P在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OFP的面積為$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{8}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{7}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$

Answer 1

分析 先設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線l方程，再與雙曲線的漸近線聯(lián)立，求出第一象限中的點(diǎn)P，根據(jù)三角形面積，求出a與b的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率．

解答 解：設(shè)右焦點(diǎn)F（c，0），則過F且斜率為-1的直線l方程為y=c-x
∵直線l交雙曲線的漸近線于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在第一象限
∴為$\left\{\begin{array}{l}{y=c-x}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$解得P（$\frac{ac}{a+b}$，$\frac{bc}{a+b}$）
∵△OFP的面積為$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{8}$，∴$\frac{1}{2}$•c•$\frac{bc}{a+b}$=$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{8}$整理得a=3b
∴該雙曲線的離心率為$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$
故答案為：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的一些性質(zhì)，離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)等，同時(shí)考查了直線方程和三角形面積公式．