Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AB=1，BD=PA=2．
（1）求異面直線(xiàn)BD與PC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以AB、AD、AP所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，所求值即為$\overrightarrow{BD}$與$\overrightarrow{PC}$夾角的余弦值的絕對(duì)值，計(jì)算即可；
（2）所求值即為平面PAD的一個(gè)法向量與平面PCD的一個(gè)法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD．
又AD⊥AB，故分別以AB、AD、AP所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
根據(jù)條件得AD=$\sqrt{3}$，
所以B（1，0，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），C（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），P（0，0，2）．
從而$\overrightarrow{BD}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PC}$=（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-2）．
設(shè)異面直線(xiàn)BD，PC所成角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{PC}$）＞|=$|\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{PC}|}|$=$|\frac{（-1，\sqrt{3}，0）•（1，\frac{2\sqrt{3}}{3}，-2）}{2×\sqrt{\frac{19}{3}}}|$=$\frac{\sqrt{57}}{38}$，
即異面直線(xiàn)BD與PC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{57}}{38}$；
（2）∵AB⊥平面PAD，∴平面PAD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0）．
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{PC}$=（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，$\sqrt{3}$，-2），
得$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{2\sqrt{3}}{3}y-2z=0}\\{\sqrt{3}y-2z=0}\end{array}\right.$，令z=3，得$\overrightarrow{n}$=（2，2$\sqrt{3}$，3）．
設(shè)二面角A-PD-C的大小為φ，且為銳角，
則cosφ=cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{（1，0，0）•（2，2\sqrt{3}，3）}{1×5}$=$\frac{2}{5}$，
即二面角A-PD-C的余弦值為$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與平面垂直的判定定理，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．