Question

20．學(xué)校餐廳每天固定供應(yīng)a名學(xué)生用餐，每星期一有A，B兩種A、B兩種菜可供選擇．調(diào)查表明，凡在這星期一選A種菜的，下星期一會(huì)有20%改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會(huì)有30%改選A種菜．設(shè)第n個(gè)星期一選A、B兩種菜分別有a_n、b_n分別表示第n個(gè)星期一選A的人數(shù)和選B的人數(shù)．
（1）試用a_n-1表示a_n，判斷數(shù)列{a_n-$\frac{3}{5}$a}是否有為等比數(shù)列并說(shuō)明理由；
（2）若第一星期選A種菜的有$\frac{a}{2}$人，求a_n；并問(wèn)從第幾星期一開(kāi)始選A的人數(shù)超過(guò)B的人數(shù)的1.3倍．

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}為第n個(gè)星期一選A的人數(shù)，{b_n}為第n個(gè)星期一選B的人數(shù)，b_n=a-a_n，根據(jù)這星期一選A菜的，下星期一會(huì)有$\frac{1}{5}$改選B菜；而選B菜的，下星期一會(huì)有$\frac{3}{10}$改選A菜，可得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{3}{10}$a，運(yùn)用遞推關(guān)系式即可．
（2）由（1）可得a_n=$\frac{a}{5}•（3-\frac{1}{{2}^{n}}）$、b_n=$\frac{a}{5}•（2+\frac{1}{{2}^{n}}）$，利用$\frac{a}{5}•（3-\frac{1}{{2}^{n}}）$＞1.3•$\frac{a}{5}•（2+\frac{1}{{2}^{n}}）$，計(jì)算即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意可得：設(shè){a_n}為第n個(gè)星期一選A的人數(shù)，{b_n}為第n個(gè)星期一選B的人數(shù)，
根據(jù)這星期一選B菜的，下星期一會(huì)有$\frac{3}{10}$改選A菜，
∴a_n+1=a_n×$\frac{4}{5}$+（a-a_n）×$\frac{3}{10}$，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{3}{10}$a，
變形可得：a_n+1-$\frac{3}{5}$a=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{3}{5}$a），
∴數(shù)列{a_n-$\frac{3}{5}$a}是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（2）∵第一星期選A種菜的有$\frac{a}{2}$人，∴a₁=$\frac{a}{2}$，
∴a₁-$\frac{3}{5}$a=$-\frac{1}{10}$a，∴a_n=$\frac{3}{5}$a+（$-\frac{1}{10}$a）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{3}{5}a-\frac{1}{{2}^{n}}•\frac{1}{5}a$=$\frac{a}{5}•（3-\frac{1}{{2}^{n}}）$，
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=$\frac{a}{5}•（3-\frac{1}{{2}^{n}}）$，
此時(shí)b_n=a-a_n=$\frac{a}{5}•（2+\frac{1}{{2}^{n}}）$，
設(shè)從第n星期一開(kāi)始選A的人數(shù)超過(guò)B的人數(shù)的1.3倍，
即$\frac{a}{5}•（3-\frac{1}{{2}^{n}}）$＞1.3•$\frac{a}{5}•（2+\frac{1}{{2}^{n}}）$，
化簡(jiǎn)得0.4＞$\frac{2.3}{{2}^{n}}$，
即2ⁿ＞$\frac{2.3}{0.4}$=5.75，
∴n≥3，
故從第3星期一開(kāi)始選A的人數(shù)超過(guò)B的人數(shù)的1.3倍．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列知識(shí)在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，理清題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，合理地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)進(jìn)行求解是關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．