Question

設b＞0，函數，記F（x）=f′（x）（f′（x）是函數f（x）的導函數），且當x=1時，F（x）取得極小值2．
（1）求函數F（x）的單調增區(qū)間；
（2）證明|[F（x）]ⁿ|-|F（xⁿ）|≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）將f'（x）求導數并化簡得，然后再求F（x）的導數得，由F'（1）=0并結合a＞0建立關于a、b的方程組，解之即可得到a=b=1，進而可得F（x）的單調增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）利用二項式定理將不等式左邊展開合并，得|[F（x）]ⁿ|-|F（xⁿ）|=，利用基本不等式證出，由此即可證出原不等式對任意的n∈N^*恒成立．
解答：解：（1）根據題意，得．
于是，若a＜0，則F'（x）＜0，與F（x）有極小值矛盾，所以a＞0．
令F'（x）=0，并考慮到x＞0，可知僅當時，F（x）取得極小值．
所以解得a=b=1．…（4分）
故，由F'（x）＞0，得x＞1，所以F（x）的單調增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）因為x＞0，所以記
得g（x）=
根據基本不等式，得，
∴將此式代入g（x）表達式，可得，
因此，|[F（x）]ⁿ|-|F（xⁿ）|≥2ⁿ-2（n∈N^*）．…（10分）
點評：本題給出基本初等函數，在已知當x=1時函數取得極小值2的情況下求函數F（x）的單調增區(qū)間，并依此證明不等式恒成立．著重考查了基本初等函數的性質、利用導數研究函數的單調性、二項式定理和不等式的證明等知識，屬于中檔題．