Question

18．若函數(shù)f（x）=（x²+x-2）（x²+ax+b）是偶函數(shù)，則f（x）的最小值為（　　）

• A． $\frac{9}{4}$
• B． $\frac{11}{4}$
• C． -$\frac{9}{4}$
• D． -$\frac{11}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由于函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則可得f（-x）=f（x），即（x²-x-2）（x²-ax+b）=（x²+x-2）（x²+ax+b），分析可得a、b的值，即可得函數(shù)f（x）的解析式，對其求導(dǎo)，分析可得當(dāng)x=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$時，f（x）取得最小值；計算即可的答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=（x²+x-2）（x²+ax+b）是偶函數(shù)，
則有f（-x）=f（x），
即（x²-x-2）（x²-ax+b）=（x²+x-2）（x²+ax+b）
分析可得：-2（1-a+b）=0，4（4+2a+b）=0，
解可得：a=-1，b=-2，
則f（x）=（x-1）（x+2）（x²-x-2）=x⁴-5x²+4，
f′（x）=4x³-10x=x（4x²-10），
令f′（x）=0，可得當(dāng)x=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$時，f（x）取得最小值；
又由函數(shù)為偶函數(shù)，
則f（x）_min=（$\frac{\sqrt{10}}{2}$）⁴-5（$\frac{\sqrt{10}}{2}$）²+4=-$\frac{9}{4}$；
故選：C

點評 本題考查函數(shù)的最值計算，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性求出a、b的值，確定函數(shù)的解析式，屬于中檔題