Question

如圖，PO⊥平面ABCD，點O在AB上，EA∥PO，四邊形ABCD為直角梯形，且AB∥CD，BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=

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CD．
（1）求證：PE⊥平面PBC；
（2）求證：平面EDO∥平面PBC．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出點A，B，P，E共面，BC⊥平面PEAB，從而得到PE⊥BC，由此能證明PE⊥平面PBC．
（2）利用面面平行的判定定理，只要判斷兩個平面的兩條相交直線分別平行即可．

解答： 證明：（1）EA∥OP，AO?平面ABP，
∴點A，B，P，E共面，
∵PO⊥平面ABCD，PO?平面PEAB
∴平面∩平面ABCD=AB，
∴BC⊥平面PEAB，∴PE⊥BC，
由平面幾何知識知PE⊥PB，
又BC∩PB=B，
∴PE⊥平面PBC．
（2）∵四邊形ABCD為直角梯形，CD=OB，∴四邊形ODCB是平行四邊形，∴OD∥BC，
又EA=AO=

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CD，PO⊥平面ABCD，點O在AB上，EA∥PO，
∴△OAE∽△BOP，∴EO∥PB，
又EO∩EA=E，EO、OD?平面EDO，
PB∩OB=B，PB，BC?平面PBC，
∴平面EDO∥平面PBC．

點評：本題考查了線面垂直的判定和面面垂直的判定；關(guān)鍵是將線面關(guān)系、面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系證明．