Question

5．設(shè){a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，已知S₃=7，a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=a_n+lna_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，列出關(guān)于{a_n}的首項(xiàng)與公差的方程組，求出首項(xiàng)、公差代入通項(xiàng)公式即得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）將${a_n}={2^{n-1}}$代入b_n，得到${b_n}={2^{n-1}}+（n-1）ln2$，利用分組法求出T_n．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1），
由已知，得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_2}+{a_3}=7\\ \frac{{（{a_1}+3）+（{a_3}+4）}}{2}=3{a_2}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}（1+q+{q^2}）=7\\{a_1}（1-6q+{q^2}）=-7\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ q=2\end{array}\right.$，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}={2^{n-1}}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${b_n}={2^{n-1}}+（n-1）ln2$，
所以${T_n}=（1+2+{2^2}+…+{2^{n-1}}）+[0+1+2+…+（n-1）]ln2$
=$\frac{{1-{2^n}}}{1-2}+\frac{n（n-1）}{2}ln2$
=${2^n}-1+\frac{n（n-1）}{2}ln2$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解，利用分組求和法是解決本題的關(guān)鍵．