Question

16．求（1+x+$\frac{1}{{x}^{6}}$）¹⁰的展開式中的常數(shù)項為841．

Answer 1

分析 在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項．

解答 解：（1+x+$\frac{1}{{x}^{6}}$）¹⁰ =[1+（x+$\frac{1}{{x}^{6}}$）]¹⁰ 的展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{10}^{r}$•${（x+\frac{1}{{x}^{6}}）}^{r}$，
對于 ${（x+\frac{1}{{x}^{6}}）}^{r}$，它的通項公式為${C}_{r}^{k}$•x^r-7k，令r-7k=0，求得r=7k，0≤r≤10，
①當(dāng)k=1，r=7時
故（1+x+$\frac{1}{{x}^{6}}$）¹⁰的展開式中的常數(shù)項為${C}_{10}^{7}$•${C}_{7}^{1}$=840，
②當(dāng)k=0，r=0時，
（1+x+$\frac{1}{{x}^{6}}$）¹⁰的展開式中的常數(shù)項為${C}_{10}^{0}$•${C}_{0}^{0}$=1，
故答案為：840+1=841．

點(diǎn)評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．