Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（1，t），$\overrightarrow$=（3t，2），f（t）=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{|\overrightarrow{a}|}^{2}{+|\overrightarrow|}^{2}}$（t∈R）．
（1）判斷f（t）的奇偶性；
（2）求f（t）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的坐標(biāo)便可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow，|\overrightarrow{a}{|}^{2}$及$|\overrightarrow{|}^{2}$的值，從而得出$f（t）=\frac{t}{2{t}^{2}+1}$，容易判斷出f（t）為奇函數(shù)；
（2）可設(shè)$y=\frac{t}{2{t}^{2}+1}$，從而可整理成關(guān)于t的方程為2yt²-t+y=0，該方程有解，可討論y是否為0：y=0時(shí)，可得出t=0，滿(mǎn)足方程有解，而y≠0時(shí)，則有△=1-8y²≥0，可解出y的范圍，從而便可得出f（t）的值域．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=3t+2t=5t$，$|\overrightarrow{a}{|}^{2}={t}^{2}+1，|\overrightarrow{|}^{2}=9{t}^{2}+4$；
∴$f（t）=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}}=\frac{5t}{10{t}^{2}+5}=\frac{t}{2{t}^{2}+1}$；
f（t）的定義域?yàn)镽，且$f（-t）=\frac{-t}{2{t}^{2}+1}=-f（t）$；
∴f（t）為奇函數(shù)；
（2）設(shè)$y=\frac{t}{2{t}^{2}+1}$，整理成關(guān)于t的方程：2yt²-t+y=0；
①y=0時(shí)，t=0；
②y≠0時(shí)，方程2yt²-t+y=0有解；
∴△=1-8y²≥0；
解得$-\frac{\sqrt{2}}{4}≤y≤\frac{\sqrt{2}}{4}$；
∴f（t）的值域?yàn)?[-\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}]$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長(zhǎng)度，以及奇函數(shù)的概念及判斷方法和過(guò)程，將函數(shù)解析式整理成關(guān)于自變量的方程的形式，根據(jù)方程有解求函數(shù)的值域的方法，以及一元二次方程有解時(shí)，判別式△的取值情況．