Question

20．設k是一個正整數(shù)，$（1+\frac{x}{k}{）^4}$的展開式中x³的系數(shù)為$\frac{1}{16}$，記函數(shù)y=x²與y=kx的圖象所圍成的陰影部分為S，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，則點（x，y）恰好落在陰影區(qū)域S內的概率是（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{2}{5}$

Answer 1

分析 首先利用二項式定理求得k的值，利用定積分的性質求陰影的面積，再利用幾何概型求得陰影面積的概率．

解答 由二項式定理可知根據題意得 ${C}_{4}^{3}（\frac{1}{k}）^{3}$=$\frac{1}{16}$，
解得k=4；
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=4k}\end{array}\right.$解得兩個交點（0，0），（16，4），
陰影部分的面積為S=${∫}_{0}^{4}4x-{x}^{2}dx$=$2{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}{丨}_{0}^{4}$=$\frac{32}{3}$，
由幾何概型可知點（x，y）恰好落在陰影區(qū)域的概率為P=$\frac{\frac{32}{3}}{64}=\frac{1}{6}$，
故選：C．

點評 本題主要考查了定積分和二項式定理，應用定積分求平面圖形面積時，再根據幾何概型求得概率，積分變量的選取是至關重要的，屬于基礎題．