Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B在直線l：x=-1上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)B與直線l垂直的直線和線段AB的垂直平分線相交于點(diǎn)M．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)N，使過點(diǎn)N的直線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)P、Q，且滿足

OP

•

OQ

=5？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題

分析：（1）由過點(diǎn)B與直線l垂直的直線和線段AB的垂直平分線相交于點(diǎn)M，可知，MA=MB，所以點(diǎn)M的軌跡是以A（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線；（2）先假設(shè)存在N（a，0），過P，Q的直線方程為x=my+a，再結(jié)合

OP

•

OQ

=5可求．

解答： 解：（1）由題意，點(diǎn)M的軌跡是以A（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，設(shè)方程為y²=2px（p＞0），則

p

2

=1，∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程是y²=4x；
（2）設(shè)存在N（a，0），過P，Q的直線方程為x=my+a，代入y²=4x，得  y²-4my-4a=0，設(shè)P( 

y 2 1

2p

， y1)，Q(

y 2 2

2p

，y2)，則y₁y₂=4a，又

OP

•

OQ

=5，得a²+4a-5=0，解得a=1或a=-5．
經(jīng)檢驗(yàn)a=-5不滿足過點(diǎn)N的直線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)P、Q，故舍去
故a=1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的定義，及存在性問題的探求，存在性問題通常假設(shè)存在，從而轉(zhuǎn)化為封閉型問題解決．