Question

9．已知某廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品的使用壽命X（單位：小時）服從正態(tài)分布N（1000，σ²），且P（X＜800）=0.1，P（X≥1300）=0.02．
（1）現(xiàn)從該廠隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，求其使用壽命在[1200，1300）的概率；
（2）現(xiàn)從該廠隨機(jī)抽取三件產(chǎn)品，記抽到的三件產(chǎn)品使用壽命在[800，1200）的件數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望E（Y）．

Answer 1

分析 （1）X～正態(tài)分布N（1000，σ²），且P（X＜800）=0.1，P（X≥1300）=0.02．可得P（1200≤X＜1300）+P（X≥1300）=P（X≥1200）=P（X＜800）．即可得出P（1200≤X＜1300）．
（2）P（800≤X＜1200）=1-2P（X＜800）=$\frac{4}{5}$．可得Y～B$（3，\frac{4}{5}）$．P（Y=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{4}{5}）^{k}•（\frac{1}{5}）^{3-k}$，（k=0，1，2，3）．即可得出．

解答 解：（1）∵X～正態(tài)分布N（1000，σ²），且P（X＜800）=0.1，P（X≥1300）=0.02．
∴P（1200≤X＜1300）+P（X≥1300）=P（X≥1200）=P（X＜800）=0.1．
∴P（1200≤X＜1300）=0.1-0.02=0.08．
即使用壽命在[1200，1300）的概率為0.08．
（2）∵P（800≤X＜1200）=1-2P（X＜800）=1-2×0.1=0.8=$\frac{4}{5}$．
∴Y～B$（3，\frac{4}{5}）$．∴P（Y=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{4}{5}）^{k}•（\frac{1}{5}）^{3-k}$，（k=0，1，2，3）．
P（Y=0）=$（\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{1}{125}$，P（Y=1）=${∁}_{3}^{1}×\frac{4}{5}×（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{12}{125}$，同理可得：P（Y=2）=$\frac{48}{125}$，P（Y=3）=$\frac{64}{125}$．
所以Y分布列：

Y	0	1	2	3
P（Y）	$\frac{1}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{64}{125}$

EY=$3×\frac{4}{5}$=$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)及其應(yīng)用、二項(xiàng)分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．