Question

20．已知點F為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，點M（2，m）在拋物線E上，且|MF|=3．
（1）求拋物線E的方程；
（2）過x軸正半軸上一點N（a，0）的直線與拋物線E交于A，B兩點，若OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義，求出p，即可求拋物線E的方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為x=ty+a，與拋物線方程聯(lián)立，利用x₁x₂+y₁y₂=0求解即可．

解答 解：（1）由題意，2+$\frac{p}{2}$=3，∴p=2，
∴拋物線E的方程為y²=4x；
（2）設(shè)直線AB的方程為x=ty+a．A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
聯(lián)立拋物線方程得y²-4ty-4a=0，y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-4a
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴a²-4a=0
∵a＞0，∴a=4．

點評 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，正確設(shè)出直線方程是關(guān)鍵．