Question

已知正項數(shù)列a_n滿足：a₁=1，n≥2時，（n-1）a_n²=na_n-1²+n²-n．
（1）求數(shù)列a_n的通項公式；
（2）設a_n=2ⁿ•b_n，數(shù)列b_n的前n項和為S_n，是否存在正整數(shù)m，使得對任意的n∈N*，m-3＜S_n＜m恒成立？若存在，求出所有的正整數(shù)m；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由（n-1）a_n²=na_n-1²+n²-n
得，令∴B_n-B_n-1=1（n≥2）
∴B_n=B₁+（n-1）d
而
∴B_n=1+（n-1）•1=n即
即a_n²=n²，
由正項數(shù)列知a_n=n（6分）
（2）由a_n=2ⁿ•b_n得
∴s_n=b₁+b₂+…+b_n
=…+ ①
s_n=…+ ②
①-②：s_n=+…+-
∴s_n=2-，．
∴＞0．
∴S_n的
而S_n的max→2
∴當m=2或m=3時
使m-3＜S_n＜m恒成立（13分）
分析：（1）先由（n-1）a_n²=na_n-1²+n²-n得，令可得B_n-B_n-1=1，求出B_n=B₁+（n-1）d，利用其結論即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）先利用錯位相減法求出S_n的表達式，進而求出S_n的最大最小值（或范圍）即可求出所有的正整數(shù)m．
點評：本題主要考查數(shù)列遞推式的應用以及錯位相減求和的應用，錯位相減法適用于一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組合而成的新數(shù)列．