Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中有如下正確結(jié)論：為曲線（、為非零實(shí)數(shù)，且不同時(shí)為負(fù)）上一點(diǎn),則過點(diǎn)的切線方程為．

(1)已知為橢圓上一點(diǎn),為過點(diǎn)的橢圓的切線，若直線與直線的斜率分別為與,求證：為定值；

(2)過橢圓上一點(diǎn)引橢圓的切線,與軸交于點(diǎn)．若為正三角形,求橢圓的方程；

(3)求與圓及(2)中的橢圓均相切的直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)

【解析】

(1)根據(jù)已知題目中所給的結(jié)論結(jié)合斜率公式可以證明出為定值；

(2) 由題目中的結(jié)論求出橢圓切線方程,求出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)等邊三角形三邊相等列出方程組,即可求出的值；

(3)設(shè)出直線的方程,根據(jù)與圓相切和(2)中橢圓相切,得到兩個(gè)等式,求出三角形的面積表達(dá)式,最后利用基本不等式可以求出三角形的面積的取值范圍．

(1) 為橢圓上一點(diǎn),為過點(diǎn)的橢圓的切線,所以的方程為：,由題意可知：,所以

為定值；

(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：,由已知所給的結(jié)論可知：過橢圓上一點(diǎn)引橢圓的切線的方程為：,與題意可知：點(diǎn)的坐標(biāo)為：.

.

因?yàn)?/span>為正三角形,所以三邊相等,因此有方程組：

,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以

橢圓的方程為；

(3)設(shè)直線的方程為：,由題意可知：.與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為：,所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為：.

因?yàn)橹本�與相切,所以方程組：有唯一解,

即方程有唯一實(shí)根,故,

即.

因?yàn)橹本�與相切,所以方程組：有唯一解,

即方程有唯一實(shí)根,故,

即,而,所以

因?yàn)?/span>,所以,因?yàn)?/span>,所以這個(gè)不等式恒成立.

(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,即

取等號),所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的取值范圍為.