【題目】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設，，是橢圓上關于軸對稱的任意兩個不同的點，連結交橢圓于另一點，證明直線與軸相交于定點；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點的直線與橢圓交于，兩點，求的取值范圍．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由題意知，

所以．

即．

又因為，

所以，．

故橢圓的方程為．

（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為．

由得． ①

設點，，則．

直線的方程為．

令，得．

將，代入，

整理，得． ②

由①得，代入②

整理，得．

所以直線與軸相交于定點．

（Ⅲ）當過點直線的斜率存在時，設直線的方程為，且

，在橢圓上．

由得．

易知．

所以，，．

則．

因為，所以．

所以．

當過點直線的斜率不存在時，其方程為．

解得：，．

此時．

所以的取值范圍是

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相關習題

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【題目】已知函數(shù)f（x）＝（kx+）ex﹣2x，若f（x）＜0的解集中有且只有一個正整數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍為 （　�。�

A. [ ，）B. （，]

C. [）D. [）

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（1）求的外接圓圓心的坐標

（2）過焦點的直線與曲線交于兩點，若，求所有滿足條件的直線的方程

（3）對于一般的封閉曲線，曲線上任意兩點距離的最大值稱為該曲線的“直徑”，如圓的“直徑”就是通常的直徑，橢圓的“直徑”就是長軸的長，求該曲線的“直徑”

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(2)過橢圓上一點引橢圓的切線,與軸交于點．若為正三角形,求橢圓的方程；

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(1)求雙曲線的方程；

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（Ⅰ）求證：；

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若對于任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)），恒成立，求的取值范圍.

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【題目】如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形,則棱SB垂直于底面.

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