已知：F1，F(xiàn)2是橢圓
x2
2
+
y2
4
=1的兩焦點，P是橢圓在第一象限弧上一點，且
PF1
•
PF2
=1，過P作關(guān)于直線F1P對稱的兩條直線PA和PB分別交橢圓于A、B兩點．
（Ⅰ）求P點坐標；
（Ⅱ）求直線AB的斜率．
分析：（Ⅰ）設(shè)P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）由題意可得
PF1
•
PF2
=x02-(2-y02)=1，由點P（x0，y0）在曲線上，可得
x02
2
+
y02
4
=1，聯(lián)立可求P
（Ⅱ）由（I）知PF1∥x軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為k（k＞0），則PB的直線方程為：y-
2
=k(x-1)，聯(lián)立直線PB與橢圓方程，則可求xA-xB=
4
2
k
2+k2
，yA-yB=-k（xA-1）-k（xB-1）=
8k
2+k2
，根據(jù)kAB=
yA-yB
xA-xB
可求
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓方程為
x2
2
+
y2
4
=1，
∴F1(0，
2
)，F2(0，-
2
)，設(shè)P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0
則
PF1
=(-x0，
2
-y0)，
PF2
=(-x0，-
2
-y0)
∴
PF1
•
PF2
=x02-(2-y02)=1
∵點P（x0，y0）在曲線上，則
x02
2
+
y02
4
=1
∴x02=
4-y02
2
  
從而
4-y02
2
-(2-y02)=1，得y0=
2
，則點P的坐標為（1，
2
）；
（Ⅱ）由（1）知PF1∥x軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為k（k＞0），則PB的直線方程為：y-
2
=k(x-1)；
由
y-
2
=k(x-1)
x2
2
+
y2
4
=1
得（2+k2）x2+2k(
2
-k)x+(
2
-k)2-4=0
設(shè)B（xB，yB）則xB=
2k(k-
2
)
2+k2
-1=
k2-2
2
k-2
2+k2

同理可得xA=
k2+2
2
k-2
2+k2
，則xA-xB=
4
2
k
2+k2
；
yA-yB=-k（xA-1）-k（xB-1）=
8k
2+k2

所以：AB的斜率kAB=
yA-yB
xA-xB
=
2
．
點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，直線與橢圓的關(guān)系，橢圓的標準方程．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上任意一點，若以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點，且△PF1F2的周長為4+2
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線的l是圓O：x2+y2=
4
3
上動點P（x0，y0）（x0-y0≠0）處的切線，l與橢圓C交于不同的兩點Q，R，證明：∠QOR的大小為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•浦東新區(qū)二模）（1）設(shè)橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1與雙曲線C2：9x2-
9y2
8
=1有相同的焦點F1、F2，M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點，且△MF1F2的周長為6，求橢圓C1的方程；
我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為y2=
4x            (0≤x≤3)
-12(x-4)  (3＜x≤4)
．設(shè)“盾圓D”上的任意一點M到F（1，0）的距離為d1，M到直線l：x=3的距離為d2，求證：d1+d2為定值； 
（3）由拋物線弧E1：y2=4x（0≤x≤
2
3
）與第（1）小題橢圓弧E2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（
2
3
≤x≤a）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設(shè)過點F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r1；并求
r1
r2
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率e=
3
2
，S△DEF2=1-
3
2
．若點M（x0，y0）在橢圓C上，則點N（
x0
a
，
y0
b
）稱為點M的一個“橢點”．直線l與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，已知以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）△AOB的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•樂山二模）已知P是橢畫
x2
25
+
y2
16
=1左準線上一點，F(xiàn)1、F2分別是其左、右焦點，PF2與橢圓交于點Q，且
PQ
=2
QF2
，則|
QF1
|的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•崇明縣二模）已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形周長是4+2
3
，且∠BF1F2=
π
6
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點Q（1，
1
2
）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程．

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