【題目】已知數(shù)列 滿足, ,且, .

(1)求;

(2)猜想, 的通項公式,并證明你的結(jié)論;

(3)證明:對所有的, .

【答案】(1), , , , , ;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】試題分析:(1)依次把n=1,2,3代入遞推式即可求出{an},{bn}的前4項;
(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想;
(3)利用放縮法證明不等式左邊,利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式右邊.

試題解析:

(1)因為 ,且

,得到解得, ;同理令分別解得由此可得,

, ;

(2)證明:猜測, ,

用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當時,由上可得結(jié)論成立.

②假設(shè)當時,結(jié)論成立,即 ,

那么當時,

,所以當時,結(jié)論也成立.

由①②,可知, 對一切正整數(shù)都成立.

(3)由(2)知,

于是所證明的不等式即為

(。┫茸C明:

因為,所以,從而,

,所以

(ⅱ)再證明

設(shè)函數(shù), ,則 .

因為在區(qū)間為增函數(shù),

所以當時,

從而在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù),

因此對于一切都成立,因為當時,

所以

綜上所述,對所有的,均有成立.

練習(xí)冊系列答案
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