Question

20．設(shè)公比不為1的等比數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，已知a₁a₂a₃=8，S_2n=3（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（-1）ⁿlog₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前2017項和T₂₀₁₇．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q≠1，由a₁a₂a₃=8，S_2n=3（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）（n∈N^*）．可得：${a}_{2}^{3}$=8，S₂=3a₁=a₁+a₂，解出a₁，a₂，可得q，a_n．
（II）b_n=（-1）ⁿlog₂a_n=（-1）ⁿn．通過分組求和即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q≠1，∵a₁a₂a₃=8，S_2n=3（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）（n∈N^*）．
∴${a}_{2}^{3}$=8，S₂=3a₁=a₁+a₂，解得a₁=1，a₂=2，∴q=2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）b_n=（-1）ⁿlog₂a_n=（-1）ⁿn．
∴數(shù)列{b_n}的前2017項和T₂₀₁₇=（-1+2）+（-3+4）+…+（-2015+2016）-2017
=1008-2017
=-1009．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、分組求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．