Question

12．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2（tanA+tanB）=$\frac{sinA+sinB}{cosAcosB}$．
（1）證明：a，c，b成等差數(shù)列；
（2）求cosC的最小值．．

Answer 1

分析 （1）由已知及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得2sin（A+B）=sinA+sinB，又結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，正弦定理得2c=a+b即可得解a，b，c成等差數(shù)列； 
（2）由余弦定理及a+b=2c，可得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{3{a}^{2}+3^{2}-2ab}{8ab}$，利用基本不等式可得cosC$≥\frac{1}{2}$，進(jìn)而可解得cosC的最小值．

解答 解：（1）∵2（tanA+tanB）=$\frac{sinA+sinB}{cosAcosB}$．
∴2（$\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}$）=$\frac{sinA+sinB}{cosAcosB}$．
2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB，
即2sin（A+B）=sinA+sinB，
又∵A+B=π-C，
∴2sinC=sinA+sinB，…（4分）
由正弦定理得，2c=a+b所以，a、c、b成等差數(shù)列； …（6分）
（2）由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$．
∵2c=a+b，所以cosC=$\frac{3{a}^{2}+3^{2}-2ab}{8ab}$$≥\frac{6ab-2ab}{8ab}=\frac{1}{2}$，
∴cosC的最小值為$\frac{1}{2}$…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，正弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，余弦定理，基本不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．