Question

已知曲線P：

x2

m-1

+

y2

6-m

=1（m≠1且m≠6）．
（Ⅰ）指出曲線P表示的圖形的形狀；
（Ⅱ）當m=5時，過點M（1，0）的直線l與曲線P交于A，B兩點．
①若

MA

=-2

MB

，求直線l的方程；
②求△OAB面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）通過對M的討論，直接判斷曲線圖形的形狀．
（Ⅱ）當m=5時，求出的方程，①設出過點M（1，0）的直線l的方程，與曲線P聯(lián)立方程組，是A，B兩點坐標，利用韋達定理．結合

MA

=-2

MB

，即可求直線l的方程；
②求出弦長，利用點到直線的距離求出三角形的高，然后表示出△OAB面積，利用換元法以及函數(shù)的導數(shù)求出三角形的面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ） 當1＜m＜

7

2

時，曲線P表示焦點在y軸上的橢圓，
當m=

7

2

時，曲線P表示圓，
當

7

2

＜m＜6時，曲線P表示焦點在x軸上的橢圓．…（4分）
（Ⅱ）當m=5時，曲線P為

x2

4

+y²=1，表示橢圓，
①依題意可知直線l的斜率存在且不為0，設直線l：x=λy+1，A（x₁，y₁） B（x₂，y₂），
由

x2

4

+y²=1消去x得（λ²+4）y²+2λy-3=0，
△＞0，由韋達定理得

y1+y2= -2λ λ2+4 …① y1•y2= -3 λ2+4 …②

，
由

MA

=-2

MB

得，y₁=-2y₂代入①②得

-y2= -2λ λ2+4 -2y22= -3 λ2+4

，…（7分）
故

8λ2

(λ2+4)2

=

3

λ2+4

⇒λ²=

12

5

⇒λ=±

2 15

5

．
即直線l的方程為x±

2 15

5

y-1=0．…（9分）
②S_△OAB=S_△OMA+S_△OMB=

1

2

|OM|•|y₁-y₂|=

1

2

|y₁-y₂|
=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

16λ2+48

2(λ2+4)

=

2 λ2+3

λ2+4

=

2 λ2+3

λ2+3+1

，
令

λ2+3

=t（t≥

3

），S（t）=

2t

t2+1

，
當t∈[

3

，+∞）時，S′（t）=

2(t2+1)-4t2

(t2+1)2

=

2-2t2

(t2+1)2

＜0，
故y=S（t）在t∈[

3

，+∞）時單調遞減，
當t=

3

，即λ=0時，S_△ABO有最大值為

3

2

．…（14分）

點評：本題考查曲線方程的綜合應用，直線與圓錐曲線的位置關系的應用，函數(shù)的單調性以及最值的求法，考查分析問題解決問題的能力．