已知x+y+z=m，證明：x2+y2+z2≥
m2
3
．
考點(diǎn)：不等式的證明
專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：運(yùn)用重要不等式a2+b2≥2ab，和累加法，再由三個(gè)數(shù)的完全平方公式，即可得證．
解答： 證明：由于x2+y2≥2xy，
y2+z2≥2yz，
z2+x2≥2ax，
相加可得，2x2+2y2+2z2≥2xy+2yz+2zx，
再同時(shí)加x2+y2+z2，即有
3（x2+y2+z2）≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx，
即為3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2，
即x2+y2+z2≥
m2
3
（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z取得等號）．
點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，主要考查重要不等式的運(yùn)用，由累加法和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱A1D1、C1C中點(diǎn)，則異面直線A1D與MN所成角的余弦值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線P：
x2
m-1
+
y2
6-m
=1（m≠1且m≠6）．
（Ⅰ）指出曲線P表示的圖形的形狀；
（Ⅱ）當(dāng)m=5時(shí)，過點(diǎn)M（1，0）的直線l與曲線P交于A，B兩點(diǎn)．
①若
MA
=-2
MB
，求直線l的方程；
②求△OAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=-x+1；當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=log2x
（1）在答題卡中的平面直角坐標(biāo)系中直接畫出函數(shù)y=f（x）在R上的草圖；
（2）當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，求滿足方程f（x）+log4（-x）=6的x的值；
（3）求y=f（x）在[0，t]（t＞0）上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若曲線y=
16
x
上的點(diǎn)P到直線4x+y+9=0的距離最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=x3-2，當(dāng)x=2時(shí)，
△y
△x
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)曲線C：f（x）=lnx-ax（a∈R），f′（x）表示f（x）導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）是否存在兩個(gè)零點(diǎn)m，n（m＜n），若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）對于曲線C上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，求證：存在唯一的x0∈（x1，x2），使直線AB的斜率等于f′（x0）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：f（x）=
3
cos4x-2cos2（2x+
π
4
）+1，求最小正周期．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，C=2A，cosA=
3
4
，則
c
a
=
 
．

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