Question

已知圓C：（x-4）²+（y-3）²=1和兩點(diǎn) A（-m，0），B（m，0）（m＞0），若圓C上至少存在一點(diǎn) P，使得∠APB=90°，則m的取值范圍是．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：根據(jù)題意，得出圓C的圓心C與半徑r，設(shè)點(diǎn)P（a，b）在圓C上，表示出

AP

、

BP

；
利用∠APB=90°，求出m²，根據(jù)|OP|表示的幾何意義，得出m的取值范圍．

解答： 解：∵圓C：（x-4）²+（y-3）²=1，
∴圓心C（4，3），半徑r=1；
設(shè)點(diǎn)P（a，b）在圓C上，則

AP

=（a+m，b），

BP

=（a-m，b）；
∵∠APB=90°，
∴

AP

⊥

BP

，
∴（a+m）（a-m）+b²=0；
即m²=a²+b²；
∴|OP|=

a2+b2

，
∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6，最小值是|OC|-r=5-1=4；
∴m的取值范圍是[4，6]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了直線與圓的應(yīng)用問題，是綜合性題目．