Question

3．已知函數(shù)y=f（x）定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（-∞，0）時xf′（x）＜-f（x）成立（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），若a=$\sqrt{3}$f（$\sqrt{3}$），b=f（1），c=-2f（log₂$\frac{1}{4}$），則a，b，c的大小關(guān)系是（　�。�

• A． c＞a＞b
• B． c＞b＞a
• C． a＞b＞c
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 由f（x）為奇函數(shù)得到f（-x）=-f（x），有xf′（x）+f（x）＜0，由導(dǎo)數(shù)的積的運算得到[xf（x）]′＜0，令F（x）=xf（x），則F（x）為偶函數(shù)，且在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，由c=-2f（-2）=2f（2）=g（2），a=$\sqrt{3}$f（$\sqrt{3}$）=g（$\sqrt{3}$），b=f（1）=g（1），即可得到所求大小關(guān)系．

解答 解：當(dāng)x∈（-∞，0）時，xf′（x）＜-f（x），
即xf′（x）+f（x）＜0，
∴[xf（x）]′＜0，
∴令F（x）=xf（x），
由函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
則F（x）為偶函數(shù)，
且在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，
由c=-2f（log₂$\frac{1}{4}$）=-2f（-2）=2f（2）=g（2），
a=$\sqrt{3}$f（$\sqrt{3}$）=g（$\sqrt{3}$），b=f（1）=g（1），
由1＜$\sqrt{3}$＜2，可得b＜a＜c．
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查奇偶函數(shù)的定義及應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，以及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運算法則構(gòu)造函數(shù)的能力，是函數(shù)的綜合題．