Question

17．已知等比數(shù)列{a_n}的首項為$\frac{3}{2}$，公比為-$\frac{1}{2}$，其前n項和為S_n，若對任意的n∈N^*，都有S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$∈[s，t]，則t-s的最小值為$\frac{17}{12}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求出S_n，分n為奇數(shù)或偶數(shù)計算出S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$，即可求出

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}的首項為$\frac{3}{2}$，公比為-$\frac{1}{2}$，
其前n項和為S_n=$\frac{\frac{3}{2}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{1}{{2}^{n}}，n為奇數(shù)}\\{1-\frac{1}{{2}^{n}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
當(dāng)n為奇數(shù)時，S_n隨著n的增大而減少，1＜S_n≤S₁=$\frac{3}{2}$，
故S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$∈（0，$\frac{5}{6}$]
當(dāng)n為偶數(shù)時，S_n隨著n的增大而增大，1＞S_n≥S₂=$\frac{3}{4}$，
故S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$∈[-$\frac{7}{12}$，0），
∵對任意的n∈N^*，都有S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$∈[s，t]，則t-s的最小值為$\frac{5}{6}$-（-$\frac{7}{12}$）=$\frac{17}{12}$，
故答案為：$\frac{17}{12}$

點評 本題考查了等比數(shù)列的求和公式，以及數(shù)列的函數(shù)的特征，屬于中檔題