【題目】如圖, 為坐標(biāo)原點,雙曲線和橢圓均過點,且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形.
(1)求的方程;
(2)是否存在直線,使得與交于兩點,與只有一個公共點,且?證明你的結(jié)論.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)利用正方形面積為2,即可得到對角線的長為2,則可得的兩個頂點和的兩個焦點的坐標(biāo),求的的值,再結(jié)合點在雙曲線上,代入雙曲線結(jié)合之間的關(guān)系即可求的的值,得到雙曲線的方程,橢圓的焦點坐標(biāo)已知,點在橢圓上,利用橢圓的定義即為到兩焦點的距離之和,求出距離即可得到的值,利用之間的關(guān)系即可求出的值,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)分以下兩種情況討論,當(dāng)直線的斜率不存在時,直線與只有一個公共點,即直線經(jīng)過的頂點,得到直線的方程,代入雙曲線求的點的坐標(biāo)驗證是否符合等式,當(dāng)直線的斜率存在時,直線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線消元得到二次方程,再利用根與系數(shù)之間的關(guān)系得到關(guān)于兩點橫縱坐標(biāo)之和的表達(dá)式,利用出,再立直線與橢圓的方程即可得到直線的關(guān)系,可得到內(nèi)積不可能等于0,進(jìn)而得到,即,即不存在這樣的直線.
的焦距為,由題可得,從而,因為點在雙曲線上,所以,由橢圓的定義可得
,于是根據(jù)橢圓之間的關(guān)系可得,所以的方程為.
(2)不存在符合題設(shè)條件的直線.
①若直線垂直于軸,即直線的斜率不存在,因為與只有一個公共點,所以直線的方程為或,
當(dāng)時,易知所以,此時.
當(dāng)時,同理可得.
②當(dāng)直線不垂直于軸時,即直線的斜率存在且設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線方程可得,當(dāng)與相交于兩點時,設(shè),則滿足方程,由根與系數(shù)的關(guān)系可得,于是,聯(lián)立直線與橢圓可得
,因為直線與橢圓只有一個交點,
所以,化簡可得,因此
,
于是,即,所以,
綜上不存在符合題目條件的直線.
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【題目】如圖所示,在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25m的建筑物CD,為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ,在山坡的A處測得∠DAC=15°,沿山坡前進(jìn)50m到達(dá)B處,又測得∠DBC=45°,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ= .
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【題目】某民營企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖甲,產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖乙(注:利潤與投資單位:萬元).
(1)分別將兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資(萬元)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤為多少萬元?
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【題目】選修4﹣1:幾何證明選講
如圖,已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,且AB是的⊙O直徑,過點D的⊙O的切線與BA的延長線交于點M.
(1)若MD=6,MB=12,求AB的長;
(2)若AM=AD,求∠DCB的大。
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【題目】設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={2},求實數(shù)a的值;
(2)若A∪B=A,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知關(guān)于x的方程為2kx2﹣2x﹣5k﹣2=0的兩個實數(shù)根一個小于1,另一個大于1,則實數(shù)k的取值范圍是( 。
A. B. C. D.
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【題目】若直線與曲線滿足下列兩個條件:()直線在點處與曲線相切; ()曲線在點附近位于直線的兩側(cè),則稱直線在點處“切過”曲線.下列命題正確的是__________.(寫出所有正確命題的編號)
①直線在點處“切過”曲線;
②直線在點處“切過”曲線;
③直線在點處“切過”曲線;
④直線在點處“切過”曲線.
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【題目】如圖,在棱長為的正方體中,點、是棱、的中點, 是底面上(含邊界)一動點,滿足,則線段長度的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點M在線段PPD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求證:M為PB的中點;
(II)求二面角B-PD-A的大。
(III)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
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