【題目】若直線與曲線滿足下列兩個條件:()直線在點(diǎn)處與曲線相切; ()曲線在點(diǎn)附近位于直線的兩側(cè),則稱直線在點(diǎn)處“切過”曲線.下列命題正確的是__________.(寫出所有正確命題的編號)
①直線在點(diǎn)處“切過”曲線;
②直線在點(diǎn)處“切過”曲線;
③直線在點(diǎn)處“切過”曲線;
④直線在點(diǎn)處“切過”曲線.
【答案】①③
【解析】①∵, ,
∴,
∴曲線在點(diǎn)處切線為,
當(dāng)時, ,
當(dāng)時, ,
即曲線在點(diǎn)附近位于直線的兩側(cè),①正確;
②設(shè),
,
當(dāng)時, , 在是減函數(shù),
當(dāng)時, , 在是增函數(shù),
∴,
即在上恒成立,
∴曲線總在直線下方,不合要求,②不正確;
③∵, ,
∴,
∴曲線在點(diǎn)處切線為,
設(shè), ,
∴是減函數(shù),
又∵,
∴當(dāng)時, ,即,
曲線在切線的下方,
當(dāng), ,即,
曲線在切線的上方,③正確;
④設(shè), ,
當(dāng)時, ,
當(dāng)時, ,函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),
當(dāng)時, ,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),
∴,
即在上是恒成立,
∴總在直線上方,不合要求,④不正確.
綜上,正確命題有①③.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線(b>a>0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率,點(diǎn)在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn),且.求|OP|2+|OQ|2的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的長軸長為, 為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程和離心率;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),動點(diǎn)在橢圓上,且在軸的右側(cè),線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線和橢圓均過點(diǎn),且以的兩個頂點(diǎn)和的兩個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.
(1)求的方程;
(2)是否存在直線,使得與交于兩點(diǎn),與只有一個公共點(diǎn),且?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)的名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游,其中大一、大二、大三、大四每個年級各兩名,分乘甲、乙兩輛汽車,每車限坐名同學(xué)(乘同一輛車的名同學(xué)不考慮位置),其中大一的孿生姐妹需乘同一輛車,則乘坐甲車的名同學(xué)中恰有名同學(xué)是來自于同一年級的乘坐方式共有( ).
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時,f(x)=ax2+bx+8(0<a<4),點(diǎn)A(2,0)在函數(shù)f(x)的圖象上,且關(guān)于x的方程f(x)+1=0有兩個相等的實(shí)根.
(1)求函數(shù)f(x)解析式;
(2)若x∈[t,t+2](t>0)時,函數(shù)f(x)有最小值1,求實(shí)數(shù)t的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正三棱柱的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示,設(shè),的中心分別為, ,現(xiàn)將此三棱柱繞直線旋轉(zhuǎn),射線旋轉(zhuǎn)所成角為弧度(可以取到任意一個實(shí)數(shù)),對應(yīng)的俯視圖的面積為,則函數(shù)的最大值為__________,最小正周期為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|.
(1)求不等式f(x)>0的解集;
(2)若存在x0∈R,使得f(x0)+2a2<4a,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是兩條不同的直線, 是三個不同的平面,給出下列四個命題:
①若,則 ②若,則
③若,則 ④若,則
其中正確命題的序號是( )
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
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