Question

已知某山區(qū)小學(xué)有100名四年級(jí)學(xué)生，將全體四年級(jí)學(xué)生隨機(jī)按00～99編號(hào)，并且按編號(hào)順序平均分成10組，現(xiàn)要從中抽取10名學(xué)生，各組內(nèi)抽取的編號(hào)依次增加10進(jìn)行系統(tǒng)抽樣．
（1）若抽出的一個(gè)號(hào)碼為22，則此號(hào)碼所在的組數(shù)是多少？據(jù)此寫出所有被抽出學(xué)生的號(hào)碼；
（2）分別統(tǒng)計(jì)這10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，獲得成績(jī)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，求這樣本的方差；
（3）在（2）的條件下，從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，記ξ為成績(jī)大于75分的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意，抽出號(hào)碼為22的組數(shù)為第3組．因?yàn)?+10×（3-1）=22，所以第1組抽出的號(hào)碼應(yīng)該為02，由此能求出抽出的10名學(xué)生的號(hào)碼．
（2）由莖葉圖能求出這10名學(xué)生的平均成績(jī)和樣本方差．
（3）ξ的取值為0，1，2．由超幾何分布能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）由題意，抽出號(hào)碼為22的組數(shù)為第3組．…（1分）
因?yàn)?+10×（3-1）=22，所以第1組抽出的號(hào)碼應(yīng)該為02，
抽出的10名學(xué)生的號(hào)碼依次分別為：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92．…（2分）
（2）這10名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)椋?br />

.

x

=

1

10

×（81+70+73+76+78+79+62+65+67+59）=71，…（4分）
故樣本方差為：S2=

1

10

（10²+1²+2²+5²+7²+8²+9²+6²+4²+12²）=52．…（6分）
（3）ξ的取值為0，1，2．由超幾何分布得：…（7分）
P（ξ=0）=

C 2 6

C 2 10

=

1

3

，…（8分）
P（ξ=1）=

C 1 4 C 1 6

C 2 10

=

8

15

，…（9分）
P（ξ=2）=

C 2 4

C 2 10

=

2

15

．…（10分）
所以，隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	1 3	8 15	2 15

…（11分）
∴Eξ=0×

1

3

+1×

8

15

+2×

2

15

=

4

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．解題時(shí)要注意莖葉圖的合理運(yùn)用．