Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知點M、N分別是A₁A、A₁B₁的中點，AC∩BD=P．
（Ⅰ）求證：MN∥平面PB₁C；
（Ⅱ）求異面直線MN與PB₁的夾角．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）如圖所示，連接AB₁，AB₁?平面PB₁C．由于點M、N分別是A₁A、A₁B₁的中點，利用三角形的中位線定理可得：MN∥AB₁．再利用線面平行的判定定理即可得出．
（Ⅱ）由于MN∥AB₁，可知∠AB₁P是異面直線MN與PB₁的夾角或其補角．由于AB₁=B₁C=AC，可得△AB₁C是等邊三角形，即可得出．

解答： （Ⅰ）證明：如圖所示，連接AB₁，AB₁?平面PB₁C．
∵點M、N分別是A₁A、A₁B₁的中點，
∴MN∥AB₁．
又MN?平面PB₁C，AB₁?平面PB₁C．
∴MN∥平面PB₁C；
（Ⅱ）解：∵MN∥AB₁，∴∠AB₁P是異面直線MN與PB₁的夾角或其補角．
∵AB₁=B₁C=AC，
∴△AB₁C是等邊三角形，
∴∠AB₁P=30°是異面直線MN與PB₁的夾角．

點評：本題考查了三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、異面直線所成的角、正方體的性質、等邊三角形的性質等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力，屬于中檔題．