Question

9．已知函數(shù)y=f（x），x∈R，給出下列結論：
①若對于任意x₁，x₂且x₁≠x₂都有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，則f（x）為R上的減函數(shù)；
②若f（x）為R上的偶函數(shù)，且在（-∞，0）內是減函數(shù)，f（-2）=0則f（x）＞0的解集為（-2，2）；
③若f（x）為R上的奇函數(shù)，則y=f（x）-f（|x|）也是R上的奇函數(shù)；
④t為常數(shù)，若對任意的x都有f（x-t）=f（x+t），則f（x）的圖象關于x=t對稱．
其中所有正確的結論序號為①．

Answer 1

分析 由單調性的定義，即可判斷①；由偶函數(shù)的單調性可得f（x）在[0，+∞）上遞增，f（x）＞0即為f（|x|）＞f（2），即有|x|＞2，計算即可判斷②；由奇偶性的定義，即可判斷③；由周期函數(shù)的定義，可得f（x）為周期函數(shù)，并非對稱函數(shù)，若f（x）滿足f（t+x）=f（t-x），則f（x）關于直線x=t對稱，即可判斷④．

解答 解：對于①，若對于任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
即當x₁＜x₂時，f（x₁）＞f（x₂），則f（x）為R上的減函數(shù)，則①對；
對于②，若f（x）為R上的偶函數(shù)，且在（-∞，0]內是減函數(shù)，則f（x）在[0，+∞）上遞增，
f（2）=f（-2）=0，則f（x）＞0即為f（|x|）＞f（2），即有|x|＞2，解得x＞2或x＜-2，則②錯；
對于③，若f（x）為R上的奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），f（-x）-f（|-x|）=-f（x）-f（|x|），
即有y=f（x）-f（|x|）不是奇函數(shù)，則③不對；
對于④，若對任意的x都有f（x-t）=f（x+t），即有f（x）=f（x+2t），
即f（x）為周期函數(shù)，并非對稱函數(shù)，若f（x）滿足f（t+x）=f（t-x），
則f（x）關于直線x=t對稱，則④錯．
故答案為：①．

點評 本題考查函數(shù)的單調性和奇偶性以及周期性的判斷和運用，考查不等式的解法，考查運算能力，屬于基礎題和易錯題．