Question

12．已知實(shí)數(shù)x，y滿足$\{\left.\begin{array}{l}{0≤x≤\frac{π}{2}}\\{cosx≤y≤sinx}\end{array}\right.$，則x-2y的取值范圍是$[\frac{π}{3}-\sqrt{3}，\frac{π}{2}]$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答 解：由約束條件$\{\left.\begin{array}{l}{0≤x≤\frac{π}{2}}\\{cosx≤y≤sinx}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

令z=x-2y，化為直線方程的斜截式$y=\frac{x}{2}-\frac{z}{2}$，
由圖可知，當(dāng)直線$y=\frac{x}{2}-\frac{z}{2}$過（$\frac{π}{2}，0$）時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為$\frac{π}{2}$；
由f（x）=sinx，得f′（x）=cosx，再由cosx=$\frac{1}{2}$，得x=$\frac{π}{3}$，
即當(dāng)直線$y=\frac{x}{2}-\frac{z}{2}$過（$\frac{π}{3}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最小值為$\frac{π}{3}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{π}{3}-\sqrt{3}$．
∴x-2y的取值范圍是$[\frac{π}{3}-\sqrt{3}，\frac{π}{2}]$．
故答案為：$[\frac{π}{3}-\sqrt{3}，\frac{π}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．