Question

5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：x^2n-1+y^2n-1（n∈N₊）能被x+y整除．

Answer 1

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)結(jié)合因式分解，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．

解答 證明：①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即x^2k-1+y^2k-1能被x+y整除
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
x^2k+1+y^2k+1=x²x^2k-1+y²y^2k-1
=x²x^2k-1+x²y^2k-1-x²y^2k-1+y²y^2k-1
=x²（x^2k-1+y^2k-1）-（x²-y²）y^2k-1
=x²（x^2k-1+y^2k-1）-（x+y）（x-y）y^2k-1，
∴x^2k+1+y^2k+1也能被x+y整除
故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N^*，x^2n-1+y^2n-1能被x+y整除．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，屬于中檔題．