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已知二次函數g（x）對任意實數x都滿足g（x﹣1）+g（1﹣x）=x2﹣2x﹣1，且g（1）=﹣1．令．
（1）求g（x）的表達式；
（2）若x＞0使f（x）≤0成立，求實數m的取值范圍；
（3）設1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，
證明：對x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）﹣H（x2）|＜1．
解：（1）設g（x）=ax2+bx+c，
于是g（x﹣1）+g（1﹣x）=2a（x﹣1）2+2c=2（x﹣1）2﹣2，
所以
又g（1）=﹣1，則．
所以．
（2）．
當m＞0時，由對數函數性質，f（x）的值域為R；
當m=0時，對x＞0，f（x）＞0恒成立；
當m＜0時，由，
列表：
．
．
所以若x＞0，f（x）＞0恒成立，則實數m的取值范圍是（﹣e，0]．
故x＞0使f（x）≤0成立，實數m的取值范圍（﹣∞，﹣e]∪（0，+∞）．
（3）因為對x∈[1，m]，，
所以H（x）在[1，m]內單調遞減．
于是．
．
記，則，
所以函數在（1，e]是單調增函數，
所以，
故命題成立．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數g（x）對任意實數x都滿足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，且g（1）=-1．
（1）求g（x）的表達式；
（2）設1＜m≤e，H（x）=g（x+
1
2
）+mlnx-（m+1）x+
9
8
，求證：H（x）在[1，m]上為減函數；
（3）在（2）的條件下，證明：對任意x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）-H（x2）|＜1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數g（x）對任意實數x都滿足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，且g（1）=-1．令f(x)=g(x+
1
2
)+mlnx+
9
8
(m∈R，x＞0)．
（1）求g（x）的表達式；
（2）若?x＞0使f（x）≤0成立，求實數m的取值范圍；
（3）設1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，證明：對?x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）-H（x2）|＜1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數g（x）的圖象經過坐標原點，且滿足g（x+1）=g（x）+2x+1，設函數f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m為非零常數
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）當-2＜m＜0時，判斷函數f（x）的單調性并且說明理由；
（3）證明：對任意的正整數n，不等式ln(
1
n
+1)＞
1
n2
-
1
n3
恒成立．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數g（x）對任意實數x不等式x-1≤g（x）≤x2-x恒成立，且g（-1）=0，令f(x)=g(x)+mlnx+
12
(m∈R)．
（I）求g（x）的表達式；
（Ⅱ）若?x＞0使f（x）≤0成立，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）設1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，證明：對?x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）-H（x2）|＜1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數g（x）的圖象經過坐標原點，且滿足g（x+1）=g（x）+2x+1，設函數f（x）=m[g（x+1）-1]-lnx，其中m為常數且m≠0．
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）當-2＜m＜0時，判斷函數f（x）的單調性并且說明理由．

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