Question

5．設f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，k是正常數(shù)，且對?x∈（0，+∞）恒有f[f（x）]=kx成立
（1）若f（x）是在（0，+∞）上的增函數(shù)，且k=1，求證f（x）=x；
（2）對?x₁，x₂∈（0，+∞），當x₂＞x₁時，有f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，若k=2，證明：$\frac{4}{3}$＜$\frac{f（x）}{x}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）在R上是增函數(shù)，且f[f（x）]=x，所以要證f（x）=x，只要排除f（x）＞x，和f（x）＜x的情況即可；
（2）先根據(jù)該問的條件判斷出f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，可以求出f（x）=$\frac{3}{2}x$時，f（$\frac{3}{2}x$）=$\frac{9}{4}x＞2x$，所以f（x）的值應小于$\frac{3}{2}x$，所以得出$\frac{f（x）}{x}＜\frac{3}{2}$，而同樣的辦法可得出$\frac{f（x）}{x}＞\frac{4}{3}$，這樣便可得到要證明的結論．

解答 證明：（1）f[f（x）]=x，∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
∴若f（x）＜x，則f[f（x）]＜f（x），即x＜f（x），顯然這種情況不存在；
同樣可判斷f（x）＞x的情況不存在；
∴f（x）=x；
（2）由已知條件即知f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
若f（x）=$\frac{3}{2}x$，則f（$\frac{3}{2}x$）=$\frac{9}{4}x$＞2x；
∴$f（x）＜\frac{3}{2}x$，x＞0；
∴$\frac{f（x）}{x}＜\frac{3}{2}$；
同理可得$\frac{f（x）}{x}＞\frac{4}{3}$；
∴$\frac{4}{3}＜\frac{f（x）}{x}＜\frac{3}{2}$．

點評 考查增函數(shù)的定義，以及對增函數(shù)定義的運用．