Question

16．設拋物線y²=2x的焦點為F，過F的直線交該拋物線于A，B兩點，則|AF|+4|BF|的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=$k（x-\frac{1}{2}）$，（k≠0）．與拋物線方程聯立可得根與系數的關系，利用|AF|+4|BF|=${x}_{1}+\frac{1}{2}+4（{x}_{2}+\frac{1}{2}）$及其基本不等式的性質即可得出，當直線AB的斜率不存在時，直接求出即可．

解答 解：F$（\frac{1}{2}，0）$，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=$k（x-\frac{1}{2}）$，（k≠0）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{1}{2}）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，化為${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}+2）x+\frac{1}{4}{k}^{2}$，
x₁x₂=$\frac{1}{4}$．
∴|AF|+4|BF|=${x}_{1}+\frac{1}{2}+4（{x}_{2}+\frac{1}{2}）$=x₁+4x₂+$\frac{5}{2}$$≥2\sqrt{4{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{2}$，當且僅當x₁=4x₂=1時取等號．
當直線AB的斜率不存在時，|AF|+4|BF|=5p=5．
綜上可得：|AF|+4|BF|的最小值為$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、焦點弦長公式、基本不等式的性質，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．