Question

6．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（x+4）=f（x）+f（2），且對任意的x₁，x₂∈[0，2]，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立．現(xiàn)給出下列命題：①f（2）=0；②函數(shù)f（x）的圖象關于點（2，0）成對稱中心；③函數(shù)f（x）在（-4，0）上單調遞減；④函數(shù)f（x）在（-6，6）上有3個零點．
其中正確命題的序號是①②③（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析 利用函數(shù)滿足的性質，分析4個命題，即可得出結論．

解答 解：①x=-2，可得f（2）=f（-2）+f（2），∴f（2）=0，正確；
②f（x+4）=-f（-x），∴f（x+4）+f（-x）=0，∴函數(shù)f（x）的圖象關于點（2，0）成對稱中心，正確；
③對任意的x₁，x₂∈[0，2]，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，∴函數(shù)f（x）在（0，2）上單調遞減，
∵函數(shù)f（x）的圖象關于點（2，0）成對稱中心，∴函數(shù)f（x）在（0，4）上單調遞減，
∴函數(shù)f（x）在（-4，0）上單調遞減，正確；
④函數(shù)f（x）在（-6，6）上有3個零點，即-4，-2，0，2，4，不正確．
故答案為：①②③．

點評 本題考查新定義，考查函數(shù)的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．