Question

17．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）用“五點(diǎn)法”作出f（x）在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖；
（Ⅱ）寫出f（x）的對(duì)稱中心以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）求f（x）的最大值以及取得最大值時(shí)x的集合．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)五點(diǎn)法作圖的方法先取值，然后描點(diǎn)即可得到圖象．
（2）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性以及函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．
（3）根據(jù)函數(shù)最值的性質(zhì)解方程即可．

解答 解：（1）列表：

x	-$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$
2x+$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	0	1	0	-1	0

描點(diǎn)、連線如圖所示：

（2）解：令2x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
解得：x=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{8}$，k∈Z，
則函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{8}$，0）k∈Z．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，從而可求得 f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（3）由2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$即x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值1，此時(shí)x的集合為{x|x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象的作法，考查了正弦函數(shù)的對(duì)稱性，單調(diào)性，利用五點(diǎn)法是解決三角函數(shù)圖象的基本方法．