Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（3-a）x-3（x≤7）\\{a^{x-6}}（x＞7）\end{array}$，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（n），n∈N^*，若數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，則$\frac{{{a^2}+3a+6}}{a+1}$的取值范圍是 $[\frac{16}{3}，6）$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（3-a）x-3（x≤7）\\{a^{x-6}}（x＞7）\end{array}$，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（n），n∈N^*，若數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，可得$\left\{\begin{array}{l}{3-a＞0}\\{（3-a）×7-3≤{a}^{8-6}}\end{array}\right.$，解得2≤a＜3.$\frac{{{a^2}+3a+6}}{a+1}$=a+1+$\frac{4}{a+1}$+1，令a+1=t∈[3，4），f（t）=t+$\frac{4}{t}$+1，利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（3-a）x-3（x≤7）\\{a^{x-6}}（x＞7）\end{array}$，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（n），n∈N^*，若數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-a＞0}\\{（3-a）×7-3≤{a}^{8-6}}\end{array}\right.$，解得2≤a＜3．
∴$\frac{{{a^2}+3a+6}}{a+1}$=a+1+$\frac{4}{a+1}$+1，
令a+1=t∈[3，4），f（t）=t+$\frac{4}{t}$+1，
f′（t）=1-$\frac{4}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-4}{{t}^{2}}$＞0，
∴f（t）在t∈[3，4）單調(diào)遞增；
∴f（3）≤f（t）＜f（4），
可得$\frac{16}{3}≤f（t）＜6$．
∴$\frac{{{a^2}+3a+6}}{a+1}$的取值范圍是$[\frac{16}{3}，6）$．
故答案為：$[\frac{16}{3}，6）$．

點評 本題考查了數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．