Question

10．已知函數(shù)f（x）=lg（-x²+4x-3）的定義域?yàn)镸．
（1）求f（x）的定義域M；
（2）求當(dāng)x∈M時(shí)，求函數(shù)g（x）=4^x-a•2^x+1（a為常數(shù)，且a∈R）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，列出不等式求出解集即可；
（2）由x∈M時(shí)，求出2^x的取值范圍，由此討論a的取值，從而求出g（x）的值域即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=lg（-x²+4x-3），
∴-x²+4x-3＞0，
即（x-1）（x-3）＜0，
解得1＜x＜3，
∴f（x）的定義域M=（1，3）；
（2）當(dāng)x∈M時(shí)，即x∈（1，3），∴2^x∈（2，8）；
∴函數(shù)g（x）=4^x-a•2^x+1=（2^x）²-2a•2^x=（2^x-a）²-a²；
當(dāng)a≤2時(shí)，g（x）在x∈（1，3）上是增函數(shù)，
∴g（x）的最小值是g（1）=4-4a，最大值是g（3）=64-16a，
g（x）的值域是[4-4a，64-16a]；
當(dāng)2＜a≤5時(shí)，g（x）在x∈（1，3）上先減后增，
∴g（x）的最小值是-a²，最大值是g（3）=64-16a，
g（x）的值域是[-a²，64-16a]；
當(dāng)5＜a＜8時(shí)，g（x）在x∈（1，3）上先減后增，
∴g（x）的最小值是-a²，最大值是g（1）=4-4a，
g（x）的值域是[-a²，4-4a]；
當(dāng)a≥8時(shí)，g（x）在x∈（1，3）上是減函數(shù)，
∴g（x）的最小值是g（3）=64-16a，最大值是g（1）=4-4a，
g（x）的值域是[64-16a，4-4a]；
綜上，a≤2時(shí)，g（x）的值域是[4-4a，64-16a]，
2＜a≤5時(shí)，g（x）的值域是[-a²，64-16a]，
5＜a＜8時(shí)，g（x）的值域是[-a²，4-4a]，
a≥8時(shí)，g（x）的值域是[64-16a，4-4a]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的定義域和值域的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．