Question

17．已知函數f（x）=$\frac{|x+1|-|x-1|}{2}$，函數g（x）=ax²-2x+1．若函數y=f（x）-g（x）恰好有2個不同的零點，則實數a的取值范圍為（-∞，0）∪（0，$\frac{9}{4}$）．

Answer 1

分析 化函數y=f（x）-g（x）恰好有2個不同零點為函數f（x）+2x-1與函數y=ax²的圖象有兩個不同的交點，從而解得．

解答 解：∵f（x）-（ax²-2x+1）=0，
∴f（x）+2x-1=ax²，
而f（x）+2x-1=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2，x＜-1}\\{3x-1，-1≤x≤1}\\{2x，x＞1}\end{array}\right.$，
作函數y=f（x）+2x-1與函數y=ax²的圖象如下，

①當a＜0時，恒有兩個焦點；
②當a=0時，不滿足題意；
③當a＞0時，當有y=ax²與y=3x-1相切，此時a為臨界值，聯立得到：
ax²-3x+1=0，△=9-4a=0，a=$\frac{9}{4}$，此時圖象如下圖

所以0＜a＜$\frac{9}{4}$；
綜上a的取值范圍是：（-∞，0）∪（0，$\frac{9}{4}$）．

點評 本題考查了數形結合的思想應用及函數的零點與函數的圖象的關系應用．