【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ ﹣3lnx(a∈R).
(1)若x=3是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),求a值及f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a=﹣2時(shí),求f(x)在區(qū)間[1,e]上的最值.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
由題有f′(x)=1﹣ ﹣ ,
所以由x=3是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)得f′(3)=1﹣ ﹣1=0,解得:a=0,
此時(shí)f′(x)=1﹣ = ,
所以,當(dāng)x>3時(shí),f′(x)>0;當(dāng)0<x<3時(shí),f′(x)<0,
即函數(shù)f(x)在(3,+∞)單調(diào)遞增;在(0,3)單調(diào)遞減.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3)
(2)解:因?yàn)閍=﹣2,所以f(x)=x﹣ ﹣3lnx,
f′(x)=1+ ﹣ = ,
所以,當(dāng)0<x<1或x>2時(shí),f′(x)>0;當(dāng)1<x<2時(shí),f′(x)<0,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(2,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2),
又x∈[1,e],所以f(x)在[1,2]遞減,在[2,e]遞增,
所以f(x)的最小值f(x)min=f(2)=1﹣3ln2,
又f(1)=﹣1,f(e)=e﹣ ﹣3及f(e)﹣f(1)=e﹣ ﹣2<2.72﹣ ﹣2= <0,
所以f(x)的最大值為f(x)max=f(1)=﹣1
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f(x)的最小值,計(jì)算f(e),f(1)的大小,求出f(x)的最大值即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值,以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 + =1與x軸交于A、B兩點(diǎn),過(guò)橢圓上一點(diǎn)P(x0 , y0)(P不與A、B重合)的切線l的方程為 + =1,過(guò)點(diǎn)A、B且垂直于x軸的垂線分別與l交于C、D兩點(diǎn),設(shè)CB、AD交于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的軌跡方程為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)證明 有且只有一個(gè)零點(diǎn);
(2)求這個(gè)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間,使這個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度不大于 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某射擊隊(duì)有8名隊(duì)員,其中男隊(duì)員5名,女隊(duì)員3名,從中隨機(jī)選3名隊(duì)員參加射擊表演活動(dòng).
(1)求選出的3名隊(duì)員中有一名女隊(duì)員的概率;
(2)求選出的3名隊(duì)員中女隊(duì)員人數(shù)比男隊(duì)員人數(shù)多的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形 中, , , , 為線段 的中點(diǎn),將 沿 折起,使平面 平面 ,得到幾何體 .
(1)若 分別為線段 的中點(diǎn),求證: 平面 ;
(2)求證: 平面 ;
(3)求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知 的最大值為 ,若存在實(shí)數(shù) ,使得對(duì)任意實(shí)數(shù) 總有 成立,則 的最小值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于數(shù)據(jù)3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.
①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3;
②這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)的數(shù)值不相等;
③這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的數(shù)值相等;
④這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的值相等.
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察下列各式: C =40;
C +C =41;
C +C +C =42;
C +C +C +C =43;
…
照此規(guī)律,當(dāng)n∈N*時(shí),
C +C +C +…+C = .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱 中, ,底面三角形 是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形, 為 的中點(diǎn).
(1)求證: ;
(2)若直線 與平面 所成的角為 ,求三棱柱 的體積.
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