Question

20．已知函數(shù)f（x）=blnx+x²，其中b為實(shí)數(shù)
（1）當(dāng)b=-1時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若任意的x∈[1，e]，f（x）-（b+2）x≥0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)b=-1時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）利用參數(shù)分離法將不等式轉(zhuǎn)化b≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$恒成立，即只需求出g（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$最小值即可．

解答 解：（1）當(dāng)b=-1時(shí)，f（x）=-lnx+x²，
則f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，得f′（1）=1．
當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=1，
于是曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-1=x-1，即為x-y=0．
（2）依題意，f（x）-（b+2）x≥0即為（x-lnx）b≤（x²-2x），
因?yàn)閤∈[1，e]，所以lnx≤1≤x，且等號(hào)不能同時(shí)成立，
所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
所以b≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$恒成立，即只需求出$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$的最小值即可．
令g（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，
則g′（x）=$\frac{（2x-2）（x-lnx）-（{x}^{2}-2x）（1-\frac{1}{x}）}{（x-lnx）^{2}}$=$\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{（x-lnx）^{2}}$，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，x-1≥0，lnx≤1，
所以x+2-2lnx＞0，故g′（x）≥0，
所以函數(shù)g（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)．
故函數(shù)g（x）的最小值為g（1）=-1，
從而b≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．