【題目】已知函數(shù)f(x)=1﹣ax+lnx,(x>0),函數(shù)g(x)滿足g(x)=x﹣1,(x∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x=1時(shí)存在極值,求a的值;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)x>1時(shí),blnx< ,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵f(x)=1﹣ax+lnx,(x>0),
∴ ,由f′(1)=0,得a=1,
此時(shí)f(x)在(0,1)為增函數(shù),在(1,+∞)為減函數(shù),
所以f(x)在x=1時(shí)存在極大值.所以a=1
(2)解:當(dāng)b≥0,x>1時(shí),blnx≥0,
當(dāng)x>1時(shí),由(1)知,f(x)<f(1)=0,g(x)>0,
所以 ,blnx< ,不成立.
故b<0,此時(shí),當(dāng)x>1時(shí),blnx< 可轉(zhuǎn)化為:(bx﹣b﹣1)lnx+x﹣1<0,
令g1(x)=(bx﹣b﹣1)lnx+x﹣1,則 ,
令 ,則 = ,
①若﹣ ,當(dāng)x∈(1,﹣ )時(shí), ,得 =0,
所以g1(x)為(1,﹣ )上的增函數(shù),故存在x0∈(1,﹣ ),使g1(x)>g1(1)=0,
與g1(x)<0相矛盾,故﹣ 時(shí),不能使blnx< ,成立;
②若b≤﹣ ,當(dāng)x>1時(shí),x+1+ >0,即 ,得 ,
∴g1(x)為(1,+∞)上的減函數(shù),故g1(x)<g1(1)=0
∴blnx< 成立.
綜上所述,實(shí)數(shù)b的取值范圍是(﹣∞,﹣ ]
【解析】(1)求出 ,由f′(1)=0及函數(shù)f(x)在x=1時(shí)存在極值,能求出a.(2)推導(dǎo)出b<0,此時(shí),當(dāng)x>1時(shí),blnx< 可轉(zhuǎn)化為(bx﹣b﹣1)lnx+x﹣1<0,令g1(x)=(bx﹣b﹣1)lnx+x﹣1,則 ,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)及分類討論思想能求出實(shí)數(shù)b的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率等于,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=8y的焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線x=﹣2與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),A,B是橢圓上位于直線x=﹣2兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn),若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值.
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【題目】如圖,在底面為梯形的四棱錐S﹣ABCD中,已知AD∥BC,∠ASC=60°,∠BAD=135°,AD=DC= ,SA=SC=SD=2,O為AC中點(diǎn).
(1)求證:SO⊥平面ABCD;
(2)求二面角A﹣SB﹣C的余弦值.
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【題目】已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,AD⊥AB,AD=AB=CD=1,PD⊥平面ABCD,PD=,E是PC的中點(diǎn).
(1)證明:BE∥平面PAD;
(2)求二面角E-BD-C的大小.
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【題目】定義在區(qū)間[﹣ , ]上的函數(shù)f(x)=1+sinxcos2x,在x=θ時(shí)取得最小值,則sinθ= .
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【題目】設(shè)θ∈R,則“|θ﹣ |< ”是“sinθ< ”的( 。
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直,且∠ BAE=120°,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分別為BE,AE,BC的中點(diǎn).
(1)求證:直線DE與平面FGH平行;
(2)若點(diǎn)P在直線GF上,且二面角D-BP-A的大小為,試確定點(diǎn)P的位置.
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【題目】已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1+a2=6,a1a2=a3 .
(1)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式;
(2){bn} 為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn , 已知S2n+1=bnbn+1 , 求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx(x∈R).
(Ⅰ)求f( )的值.
(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
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