Question

7．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是正三角形，E是棱BB₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）若AA₁=AB=1，求點(diǎn)E到平面ABC₁的距離．

Answer 1

分析 （I）分別取AC，AC₁的中點(diǎn)O，F(xiàn)，連接OB，OF，EF，則$OF\underset{∥}{=}BE$，可得四邊形OBEF為平行四邊形，可得：OB∥EF．由已知可得：OB⊥平面ACC₁A₁，即可證明EF⊥平面ACC₁A₁，∴平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C．
（II）設(shè)點(diǎn)E到平面ABC₁的距離為h₁．點(diǎn)C₁到平面ABE的距離為h₂．利用${V}_{E-AB{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△AB{C}_{1}}$×h₁=${V}_{{C}_{1}-ABE}$═$\frac{1}{3}×{S}_{△ABE}$×h₂，即可得出．

解答 （I）證明：分別取AC，AC₁的中點(diǎn)O，F(xiàn)，連接OB，OF，EF，則$OF\underset{∥}{=}BE$，
∴四邊形OBEF為平行四邊形，可得：OB∥EF．∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
△ABC是正三角形，O是AC的中點(diǎn)，∴OB⊥平面ACC₁A₁，∴EF⊥平面ACC₁A₁，
∴平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C．
（II）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ABC₁的距離為h₁．點(diǎn)C₁到平面ABE的距離為h₂．
∴${V}_{E-AB{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△AB{C}_{1}}$×h₁=${V}_{{C}_{1}-ABE}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABE}$×h₂=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{24}$．
又BC₁=AC₁=$\sqrt{2}$，AB=1．
∴${S}_{△AB{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，∴h₁=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
∴點(diǎn)E到平面ABC₁的距離為$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三棱錐的體積計(jì)算公式、空間距離，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．