Question

15．王先生家住 A 小區(qū)，他工作在 B 科技園區(qū)，從家開車到公司上班路上有 L₁，L₂ 兩條路線（如圖），L₁ 路線上有 A₁，A₂，A₃ 三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為$\frac{1}{2}$；L₂ 路線上有 B₁，B₂ 兩個(gè)路．各路口遇到紅燈的概率依次為$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{5}$．若走 L₁ 路線，王先生最多遇到 1 次紅燈的概率為$\frac{1}{2}$；若走 L₂ 路線，王先生遇到紅燈次數(shù) X 的數(shù)學(xué)期望為$\frac{27}{20}$．

Answer 1

分析 利用n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式和互斥事件概率計(jì)算公式能求出走L₁路線最多遇到1次紅燈的概率；依題意X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出走 L₂ 路線，王先生遇到紅燈次數(shù) X 的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：走L₁路線最多遇到1次紅燈的概率為${C}_{3}^{0}×（\frac{1}{2}）^{3}+{C}_{3}^{1}×\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{2}$，
依題意X的可能取值為0，1，2，
則由題意P（X=0）=（1-$\frac{3}{4}$）（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{1}{10}$，
P（X=1）=$\frac{3}{4}•（1-\frac{3}{5}）+（1-\frac{3}{4}）•\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=2）=$\frac{3}{4}•\frac{3}{5}=\frac{9}{20}$，
∴EX=$0×\frac{1}{10}+1×\frac{9}{20}+2×\frac{9}{20}$=$\frac{27}{20}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$，$\frac{27}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式和互斥事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．